Model de rezvolvare a Variantei 8, subiectul oficial al evaluării naţionale matematică 2010 – 2011 pentru elevii clasei a VIII-a

Un model de rezolvare a variantei 8, extrasă drept subiectul oficial al examenului naţional la matematică pentru clasa a VIII-a în anul şcolar 2010 – 2011, întreprins de mine într-o formă verbalizată pentru elevii mai puţin iscusiţi la matematică.

SUBIECTUL I

(Atenţie! Răspunsul dat trebuie să se poată înlocui cu punctele de suspensie din cerinţă, unele  exerciţii cerând de pildă şi unitatea de măsură, re regulă în centimetri)

1. 6 + 16:4 = 6 + 4 = 10 (trebuie respectată ordinea calculelor, mai întâi împărţirea ori înmulţirea, apoi adunarea sau scăderea).

2. În urnă sunt 7 bile albe + 3 bile albastre, deci 10 bile. Probabilitatea este egală cu raportul dintre numărul de cazuri favorabile pe numărul de cazuri posibile şi, în cazul extragerii unei singure bile, probabilitatea ca ea să fie albastră este egală cu 3/10 (numărul de bile albastre/numărul total de bile).

3. Dacă trei kilograme de mere costă 7,5 lei, înseamnă că un kilogram costă de trei ori mai puţin, adică 2,5 lei. Patru kilograme de mere cu aceeaşi calitate (şi, deci, acelaşi preţ) costă cât 2,5 lei ori 4 kilograme, adică 10 lei.

4. Dacă lăţimea este 3/4 din lungime, egală cu 8 centimetri, iar o pătrime din această valoare este de 2 centimetri, lăţimea va fi de trei ori mai mare, adică va avea 6 centimetri.

5. Măsura unghiului dintre laturile AB’ şi CC’ este egală cu măsura dintre laturile AB’ şi AA’ (deoarece CC’ este paralel cu AA’), deci este egală cu măsura unghiului B’AA’. Deoarece prisma dreaptă are toate feţele laterale pătrate, triunghiul AA’B’ este isoscel dreptunghic, motiv pentru care unghiurile ascuţite sunt congruente şi egale cu jumătate din valoarea acestuia (suma unghiurilor într-un triunghi este de 180 de grade, iar măsura unghiului dreptunghic este de 90 de grade – n.n.), deci măsura unghiului A’AB’ este egală cu măsura unghiului A’B’A, care este 90: 2, deci 45 de grade.

 

6. Numărul elevilor care au obţinut o notă strict mai mică de 7 este egal cu suma dintre numărul elevilor cu note între mai mici decât 5 şi 6,99, adică 8 + 12 + 25 = 20 + 25 = 45.

 

SUBIECTUL II 

1. O piramidă triunghiulară regulată VACB: 

2. (înmulţim mezii cu extremii): (a – 1)(b +1) = 2 * 3 = 6

Deoarce produsul celor două numere naturale este egal cu 6, înseamnă că înseamnă că ambele aparţin mulţimiilor divizorilor lui 6, adică D6 = {1, 2, 3, 6}.

Vom lua patru cazuri: 6 = 1 * 6 = 2 * 3 = 3 * 2 = 6 *1

Cazul I: 6 = 1 * 6, deci a – 1 = 1, iar b + 1 = 6, de unde a = 1 + 1 = 2 şi b = 6 – 1 = 5.

Cazul II: 6 = 2 * 3, deci a – 1 = 2, iar b + 1 = 3, de unde a = 2 + 1 = 3 şi b = 3 – 1 = 2.

Cazul III: 6 = 3 * 2, deci a – 1 = 3, iar b + 1 = 2, de unde a = 3 + 1 = 4 şi b = 2 -1 = 1

Cazul IV: 6 = 6 * 1, deci a – 1 = 6, iar b + 1 = 1, de unde a = 6 + 1 = 7 şi b = 1 – 1 = 0.

Vom scrie soluţia astfel:

(a, b) aparţine {(2, 5), (3, 2), (4, 1), (7, 0)}

 

3. Vom nota cu x preţul iniţial al televizorului. După scumpire, preţul este egal cu x + 10%x, adică 11/10x (îl putem nota cu y). După ieftinire, preţul este y – 10&y, adică 110/100 x – 11/100x, adică 99/100x (îl putem nota cu z).

Dar 99/100x = 1980, adică 99x = 1980 * 100, deci x = 1980/99 * 100, care înseamnă că x = 20 * 100, deci x = 2000 lei.

4. a) Pentru reprezentatea unei funcţii, se iau mai multe valori (deşi sunt suficiente două puncte pentru reprezentarea grafică, sunt de recomandat trei, pentru certitudine maximă):

f (1) = -1 + 2 = 1 => A (1, 1)

f (2) = -2 + 2 = 0 => B (2, 0)

f (-1) = -(-1) + 2 = 1 + 2 => C (-1, 2)

 

Vom desena graficul, reprezenta punctele A, B, C, şi le vom uni printr-o dreaptă (nu un segment!).

b) Punctul în cauză este A, dar, pentru a oferi o rezolvare ştiinţifică şi nu empirică, vom formula următoarea ecuaţie:

f (x) = x => -x + 2 = x => 2x = 2 => x = 1

Deci, punctul cu absica egală cu ordonata este A = (1, 1).

 

5. Vom rezolva mai întâi părţi ale acestui număr:

Prima, produsul dintre cele două paranteze, după înmulţirea celor patru termeni, duce la următoarea situaţie: 

 

A doua parte, o vom rezolva aplicând regula binomului la pătrat: 

A treia nu necesită rezolvare suplimentară.

Deci, avem: 

 

(se reduc numerele cu radical)

=> a = 3, deci este număr natural


1. Ip: ABCDA’B’C’D’ prismă patrulateră dreaptă

AB = 30 cm

AC = CC’

AP = 90 cm

D: a) Fie h înălţimea suportului.

h = AA’ = BB’ = CC’ = DD’

Vom încerca să determinăm lungimea segmentului CC’ în triunghiul ACC’.

Doarece prisma este patrulateră dreaptă, CC’ este perpendicular pe planul (BCD), deci pe orice dreaptă din plan, astfel încât CC’ este perpendicular pe AC, deci triunghiul ACC’ este dreptunghic. Deoarece AC = CC’, triunghiul ACC’ este şi isoscel.

ABCD este pătrat, deci AB = BC şi AB perpendicular pe BC, deci triunghiul ABC este dreptunghic isoscel. Conform teoremei lui Pitagora, ipotenuza (AC) este egală cu suma catetelor (AB, BC) la pătrat, adică AC este egal cu radical din 2 AB la pătrat, deci AC este egal cu AB radical din nou Deoarece AB = 30 cm, 

b) Fie PT perpendicular pe dreapta AC.

Deoarece PT este paralel cu CC’, iar CC’ este perpendicular pe planul (ABC), rezultă că PT este perpendicular pe planul (ABC) (1). De asemenea, AP este perpendicular pe AB (2) (pentru a vedea de ce, imaginaţivă o paralelă dusă la AP prin B şi uniţi-o cu P: veţi vedea un dreptunghi)

Aplicând teorema celor trei perpendiculare conform relaţiilor (1) şi (2), rezultă că AP este perpendicular pe planul (ABC) (deci şi pe AT, inclus în acest plan), deci măsura unghiului dintre AP şi planul (ABC) este egală cu măsura determinat de AP şi AT, adică unghiul CAC’.

Deoarece triunghiul ACC’ este dreptunghic isoscel, unghiuril AC şi CC’ sunt congruente, deci egale cu jumătate din 90 de grade, adică 45. De unde rezultă că măsura unghiului CAC’ = PAC este de 45 de grade.

În concluzie, măsura unghiului dintre AP şi planul (ABC) este de 45 de grade.

 

c) Conform punctului b, PT este perpendicular pe planul (ABC), deci este egal cu distanţa dintre punctul P şi planul (ABC).

Ştim că triunghiul ACC’ este isoscel dreptunghic, cu AC = CC’. În triunghiul APT, CC’ este paralel cu PT, de unde rezultă că triunghiul ACC’ este asemenea cu triunghiul ATP. Pe baza proprietăţiilor de asemănare, se poate deduce că triunghiul ATP este dreptunghic isoscel, adică măsura unghiurilor TAP şi TPA este de 45 de grade.

Aplicăm funcţia trigonometrică sinus pentru unghiul PAT: raportul dintre cateta opusă (PT) şi ipotenuza (AP) este egal cu fracţia radical din 2 supra 2, dar AP = 90 cm,  

2. Ip: ABCD dreptunghi

AB = 16 m

D: Notăm cu d distanţa parcursă de albină (lungimea traseului albinei).

Fie G mijlocul laturii AB.

d = GM + MD

AB este diametru, deci raza cercului (GM) este jumătate din 16 m, adică 8 m.

Fie MH perpendicular pe AD.

MH = GM = 8 m

DH = ED (diametru) + EH (raza) = 16 + 8 = 24

În triunghiul MHD, conform teoremei lui Pitagora,


 

b) Notăm cu S suprafaţa din grădină plantată cu flori.

S este egală cu suprafaţa cercului şi a celor două semicercuri, adică a două cercuri.

Aria cercului este egală cu ori Pi ori raza (8 m) la pătrat, adică 64 Pi.

Deoarece este vorba despre două cercuri congruente,

S = 2 * 64 Pi = 128 Pi metri pătraţi

 

c) Fie K suprafaţa haşurată.

K este egală cu scăderea dintre suprafaţa dreptunghiului şi suprafaţele circulare S.

Aria dreptunghiului (A) este egală cu AB * AD, adică 2r * 4r, adică 8r la pătrat, deci 8 * 64 = 512 metri pătraţi.

 

K = A – S = 512 – 128 Pi = 128 (4 – Pi)

Pi > 3,14 | * (-1)

=> – Pi < – 3,14 | +4

=> 4 – Pi < -3,14 + 4 = 0,86 | *128

=> 128 (4 – Pi) < 110,08 metri pătraţi

=> K < 111 metri pătraţi

Anunțuri

2 comentarii

Din categoria Proiecte scolare

2 răspunsuri la „Model de rezvolvare a Variantei 8, subiectul oficial al evaluării naţionale matematică 2010 – 2011 pentru elevii clasei a VIII-a

  1. Pingback: Recapitulare (7) Efervescenţă muli-laterală de 16 ani şi 6 luni | tudorvisanmiu

  2. Pingback: T.V.-M. A.L. (62) Examenul de capacitate (II) Matematică şi De la despre alegerea unui partener de viaţă până la mărunte exemple de existenţa umană « Muşcătura lui Fenrisúlfr

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile tale sau dă clic pe un icon pentru a te autentifica:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s